Esercizi svolti · Scheda 1

Dilatazione dei tempi

Teoria usata: Dilatazione dei tempi Tempo proprio Fattore di Lorentz

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Esercizio 1

Un orologio a luce è formato da due specchi paralleli a distanza $d = 1{,}2\,\mathrm{m}$ , tra i quali un impulso di luce va e torna. L’orologio viaggia su un’astronave che si muove con velocità $v = 0{,}80\,c$ rispetto alla Terra, perpendicolarmente alla congiungente degli specchi. Calcola la durata di un’andata e ritorno dell’impulso nel sistema dell’astronave e nel sistema della Terra. Si usi $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

L'orologio a luce nel sistema dell'astronave (a sinistra) e nel sistema della Terra (a destra), dove l'impulso percorre due lati obliqui lunghi

ℓ = \frac{c Δ t}{2}

\Delta t_0 = \frac{2d}{c} , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} , \qquad \Delta t = \gamma\, \Delta t_0

\Delta t_0 = \frac{2 \cdot 1{,}2}{3{,}00 \cdot 10^{8}}\,\mathrm{s} = 8{,}0 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{s}

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}80^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}60} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67

\Delta t = \frac{5}{3} \cdot 8{,}0 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{s} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{s}

Nel sistema dell’astronave l’orologio è fermo, quindi la partenza e il ritorno dell’impulso avvengono nello stesso punto, sullo specchio inferiore. L’intervallo tra i due eventi misurato a bordo è perciò un tempo proprio, e vale il tempo che la luce impiega a percorrere la distanza $2d$ con velocità $c$ , cioè $8{,}0\,\mathrm{ns}$ .

Nel sistema della Terra l’orologio si muove con velocità $v$ , e i due eventi avvengono in punti diversi. Per la dilatazione dei tempi l’intervallo misurato sulla Terra è il tempo proprio moltiplicato per il fattore di Lorentz. Con $\beta = 0{,}80$ si ha $1 - \beta^2 = 0{,}36$ , la cui radice è $0{,}60$ , quindi $\gamma = \dfrac{5}{3}$ . Perciò sulla Terra l’andata e ritorno dura circa 13 ns, più del tempo proprio.

Come controllo si usa la figura. In $13{,}3\,\mathrm{ns}$ la luce percorre $c\,\Delta t = 4{,}0\,\mathrm{m}$ , quindi ogni lato obliquo è lungo $2{,}0\,\mathrm{m}$ , mentre l’orologio avanza di $v\,\Delta t = 3{,}2\,\mathrm{m}$ , cioè di $1{,}6\,\mathrm{m}$ per ogni lato. Il triangolo rettangolo con cateti $1{,}2\,\mathrm{m}$ e $1{,}6\,\mathrm{m}$ ha ipotenusa $\sqrt{1{,}44 + 2{,}56}\,\mathrm{m} = 2{,}0\,\mathrm{m}$ , come deve essere.

Esercizio 2

I pioni carichi sono particelle instabili con vita media $\tau = 2{,}6 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{s}$ , misurata nel sistema in cui il pione è fermo. In un acceleratore un fascio di pioni si muove con velocità $v = 0{,}95\,c$ . Calcola la vita media dei pioni misurata nel laboratorio e la distanza media che percorrono nel laboratorio prima di decadere. Confronta il risultato con la distanza che si otterrebbe trascurando la dilatazione dei tempi. Si usi $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}95^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0975}} \approx 3{,}20

\Delta t = \gamma\, \tau = 3{,}20 \cdot 2{,}6 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{s} \approx 8{,}3 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{s}

d = v\, \Delta t = 0{,}95 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8} \cdot 8{,}33 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{m} \approx 24\,\mathrm{m}

d_{\text{class}} = v\, \tau = 0{,}95 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8} \cdot 2{,}6 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{m} \approx 7{,}4\,\mathrm{m}

La vita media $\tau$ è misurata nel sistema in cui il pione è fermo, dove la nascita e il decadimento avvengono nello stesso punto, quindi è un tempo proprio. Nel laboratorio il pione si muove, perciò per la dilatazione dei tempi la sua vita media è $\gamma\, \tau$ . Il fattore di Lorentz si calcola con $1 - 0{,}95^2 = 1 - 0{,}9025 = 0{,}0975$ , e vale circa $3{,}20$ ; quindi nel laboratorio i pioni vivono in media $83\,\mathrm{ns}$ .

Nel laboratorio il pione si muove con velocità costante $v$ per il tempo $\gamma\, \tau$ , quindi percorre in media circa 24 m. Se si trascurasse la dilatazione dei tempi si moltiplicherebbe $v$ per il tempo proprio $\tau$ , ottenendo circa $7{,}4\,\mathrm{m}$ , cioè una distanza più piccola di un fattore $\gamma$ . Negli acceleratori si osservano effettivamente le distanze più lunghe previste dalla relatività.

Esercizio 3

Determina la velocità, in unità di $c$ e in metri al secondo, con cui deve muoversi un orologio rispetto alla Terra perché, mentre sulla Terra passano $60$ minuti, l’orologio segni $20$ minuti. Calcola poi quanti minuti segna l’orologio mentre sulla Terra passa un giorno. Si usi $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

\Delta t = \gamma\, \Delta t_0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = \frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{60\,\mathrm{min}}{20\,\mathrm{min}} = 3

\frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \gamma \quad\Longrightarrow\quad 1 - \beta^2 = \frac{1}{\gamma^2} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}

\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}943 , \qquad v = \beta c \approx 2{,}83 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}

\Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{1440\,\mathrm{min}}{3} = 480\,\mathrm{min}

I $20$ minuti sono segnati dall’orologio in moto, che è presente in un solo punto del proprio sistema all’inizio e alla fine dell’intervallo; sono quindi il tempo proprio $\Delta t_0$ , mentre i $60$ minuti sono l’intervallo $\Delta t$ misurato sulla Terra. Dalla formula della dilatazione dei tempi si ricava il fattore di Lorentz come rapporto tra i due intervalli, e si ottiene $\gamma = 3$ .

Per ricavare $\beta$ si eleva al quadrato la definizione di $\gamma$ e si prende il reciproco, così che $1 - \beta^2 = \dfrac{1}{\gamma^2} = \dfrac{1}{9}$ . Quindi $\beta^2 = \dfrac{8}{9}$ e, poiché $\beta$ è positivo, $\beta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}943$ . La velocità è perciò circa $2{,}83 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ , minore di $c$ come deve essere.

Un giorno dura $24 \cdot 60 = 1440$ minuti. Il fattore di Lorentz è lo stesso, perché dipende solo dalla velocità, quindi l’orologio in moto segna un terzo di quel tempo, cioè $480$ minuti, pari a $8$ ore.