Esercizi svolti · Scheda 3

Masse ed energie equivalenti

Teoria usata: Energia totale ed energia a riposo Equivalenza tra massa ed energia

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Esercizio 1

Calcola l’energia a riposo di $1{,}0\,\mathrm{g}$ di materia. Una famiglia consuma in un anno $2700\,\mathrm{kWh}$ di energia elettrica. Per quanti anni si potrebbe fornire energia alla famiglia se l’energia a riposo di $1{,}0\,\mathrm{g}$ si trasformasse tutta in energia elettrica? Usa $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

E_0 = m c^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot \left( 3{,}00 \cdot 10^{8} \right)^2\,\mathrm{J} = 9{,}0 \cdot 10^{13}\,\mathrm{J}

E_{\text{anno}} = 2700 \cdot 3{,}6 \cdot 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 9{,}7 \cdot 10^{9}\,\mathrm{J}

n = \frac{E_0}{E_{\text{anno}}} = \frac{9{,}0 \cdot 10^{13}}{9{,}72 \cdot 10^{9}} \approx 9{,}3 \cdot 10^{3}\ \text{anni}

Per l’equivalenza tra massa ed energia a ogni massa corrisponde l’energia a riposo $m c^2$ . La massa va espressa in chilogrammi, quindi $1{,}0\,\mathrm{g} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}$ , e il prodotto per $c^2 = 9{,}00 \cdot 10^{16}\,\mathrm{m^2/s^2}$ dà $9{,}0 \cdot 10^{13}\,\mathrm{J}$ .

Il consumo annuo è dato in kilowattora, e si converte in joule moltiplicando per $3{,}6 \cdot 10^{6}$ . Il numero di anni è il rapporto tra le due energie, circa novemila anni. Il calcolo suppone una trasformazione completa della massa in energia elettrica, che non avviene in nessuna centrale, perché nelle reazioni nucleari si trasforma meno dell’ $1\%$ della massa.

Esercizio 2

Il Sole emette la potenza $P = 3{,}83 \cdot 10^{26}\,\mathrm{W}$ sotto forma di radiazione. Calcola la massa che il Sole perde ogni secondo e in un anno a causa di questa emissione, e la frazione della sua massa $M = 1{,}99 \cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$ che perde in un anno. Usa $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e un anno di $3{,}15 \cdot 10^{7}\,\mathrm{s}$ .

\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2} = \frac{P\, \Delta t}{c^2}

\begin{aligned} \frac{\Delta m}{\Delta t} &= \frac{3{,}83 \cdot 10^{26}}{9{,}00 \cdot 10^{16}}\,\mathrm{kg/s} \approx 4{,}26 \cdot 10^{9}\,\mathrm{kg/s} \\[6pt] \Delta m_{\text{anno}} &= 4{,}26 \cdot 10^{9} \cdot 3{,}15 \cdot 10^{7}\,\mathrm{kg} \approx 1{,}34 \cdot 10^{17}\,\mathrm{kg} \\[6pt] \frac{\Delta m_{\text{anno}}}{M} &= \frac{1{,}34 \cdot 10^{17}}{1{,}99 \cdot 10^{30}} \approx 6{,}7 \cdot 10^{-14} \end{aligned}

La potenza è l’energia emessa nell’unità di tempo, quindi nel tempo $\Delta t$ il Sole emette l’energia $P\,\Delta t$ . Per l’equivalenza tra massa ed energia un sistema che cede l’energia $\Delta E$ perde la massa $\dfrac{\Delta E}{c^2}$ , e perciò la massa persa ogni secondo è $\dfrac{P}{c^2}$ , circa quattro milioni di tonnellate.

Moltiplicando per il numero di secondi in un anno si ottiene la massa persa in un anno, circa $1{,}3 \cdot 10^{17}\,\mathrm{kg}$ . Dividendo per la massa del Sole si trova che la frazione persa in un anno è dell’ordine di $10^{-13}$ , quindi anche in miliardi di anni il Sole perde per irraggiamento una parte molto piccola della sua massa.

Esercizio 3

Una massa di $1{,}0\,\mathrm{kg}$ di acqua viene scaldata da $20\,^\circ\mathrm{C}$ a $80\,^\circ\mathrm{C}$ . Calcola il calore assorbito dall’acqua e l’aumento della sua massa. Spiega perché questo aumento non si può misurare con una bilancia. Usa il calore specifico dell’acqua $c_s = 4186\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

Q = m\, c_s\, \Delta T = 1{,}0 \cdot 4186 \cdot 60\,\mathrm{J} \approx 2{,}5 \cdot 10^{5}\,\mathrm{J}

\Delta m = \frac{Q}{c^2} = \frac{2{,}51 \cdot 10^{5}}{9{,}00 \cdot 10^{16}}\,\mathrm{kg} \approx 2{,}8 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{kg}

\frac{\Delta m}{m} \approx 2{,}8 \cdot 10^{-12}

Il calore assorbito si calcola con la legge della calorimetria $Q = m\, c_s\, \Delta T$ , con $\Delta T = 60\,\mathrm{K}$ . Il calore specifico si indica con $c_s$ per distinguerlo dalla velocità della luce $c$ .

L’acqua riceve l’energia $Q$ , quindi per l’equivalenza tra massa ed energia la sua energia a riposo aumenta di $Q$ e la sua massa aumenta di $\dfrac{Q}{c^2}$ , circa $2{,}8 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ , cioè qualche miliardesimo di milligrammo. L’aumento relativo è dell’ordine di $10^{-12}$ , mentre le bilance più precise misurano variazioni relative di circa $10^{-9}$ o $10^{-10}$ . Per questo motivo nei processi termici e chimici la massa si considera costante, e l’equivalenza tra massa ed energia si verifica nei processi nucleari, dove le variazioni relative sono dell’ordine di $10^{-3}$ .