Operazioni tra insiemi dati per elencazione

Theory used: Insieme ed elemento Unione Intersezione Differenza Complementare Complementare dell'unione e dell'intersezione

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Esercizio 1

Siano $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ e $B = \{3, 6, 9, 12\}$ . L’insieme $A \cap B$ è:

A) $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$
B) $\{6, 12\}$
C) $\{2, 4, 8, 10\}$
D) $\{6\}$
E) $\{3, 9\}$

Gli elementi comuni ad

A

e a

B

sono

6

12

L’intersezione $A \cap B$ contiene gli elementi che appartengono sia ad $A$ sia a $B$ . Fra gli elementi di $B$ , i numeri $3$ e $9$ non appartengono ad $A$ , mentre $6$ e $12$ vi appartengono, quindi $A \cap B = \{6, 12\}$ . L’opzione A è l’unione $A \cup B$ e l’opzione C è la differenza $A \setminus B$ . Nell’opzione D manca il $12$ , che è l’ultimo elemento di entrambi gli elenchi. La risposta corretta è la B.

Esercizio 2

In un ufficio lavorano sette colleghi: Anna, Bruno, Carla, Dario, Elena, Fabio e Giulia. Anna, Carla, Elena e Giulia hanno il turno del mattino; Bruno, Carla e Giulia hanno il turno del sabato. Quali colleghi non hanno né il turno del mattino né quello del sabato?

A) Bruno
B) Anna ed Elena
C) Carla e Giulia
D) Dario e Fabio
E) Bruno, Dario e Fabio

Colleghi, indicati con le prime due lettere del nome, con il turno del mattino (

M

) e del sabato (

S

): fuori da entrambi gli insiemi restano Dario e Fabio

L’insieme universo è formato dai sette colleghi. Chi non ha né il turno del mattino né quello del sabato sta fuori da $M$ e fuori da $S$ , quindi appartiene al complementare dell’unione $\overline{M \cup S}$ . L’unione $M \cup S$ comprende Anna, Bruno, Carla, Elena e Giulia, perciò restano Dario e Fabio. L’opzione E è il complementare di $M$ soltanto, che comprende anche Bruno, il quale però ha il turno del sabato. La risposta corretta è la D.

Esercizio 3

Nell’insieme universo $U = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ si considerano $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , $B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ e l’insieme $C$ dei numeri pari di $U$ . L’insieme $(A \cap B) \setminus C$ è:

A) $\{5\}$
B) $\{4, 6\}$
C) $\{4, 5, 6\}$
D) $\{2, 4, 5, 6\}$
E) $\{5, 7\}$

A \cap B = \{4, 5, 6\}, \qquad C = \{2, 4, 6, 8, 10\}, \qquad (A \cap B) \setminus C = \{5\}

La zona colorata contiene gli elementi di

A

e di

B

che non appartengono a

C

Si calcola prima l’intersezione $A \cap B = \{4, 5, 6\}$ . Poi la differenza toglie gli elementi che appartengono a $C$ ; poiché $4$ e $6$ sono pari, resta soltanto $5$ . L’opzione B è $(A \cap B) \cap C$ , che contiene gli elementi da togliere invece di quelli che restano, e l’opzione C è l’intersezione $A \cap B$ , senza la differenza. La risposta corretta è la A.