Disgiunzione inclusiva ed esclusiva

Theory used: Disgiunzione inclusiva Disgiunzione esclusiva Doppia implicazione

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Esercizio 1

Un bando ammette i candidati che hanno il diploma o almeno tre anni di esperienza nel settore. Quale dei seguenti candidati non può partecipare?

A) Bianca, con il diploma e cinque anni di esperienza
B) Carlo, con il diploma e un anno di esperienza
C) Dario, senza diploma e con quattro anni di esperienza
D) Elisa, senza diploma e con due anni di esperienza
E) Franco, con il diploma e senza esperienza

candidato	diploma $D$	esperienza di almeno tre anni $E$	$D \lor E$
Bianca	V	V	V
Carlo	V	F	V
Dario	F	V	V
Elisa	F	F	F
Franco	V	F	V

Il bando non dice “ma non entrambi”, quindi la “o” è la disgiunzione inclusiva $D \lor E$ , vera quando il candidato possiede almeno uno dei due requisiti. La disgiunzione è falsa solo quando mancano entrambi i requisiti. Elisa non ha il diploma e ha soltanto due anni di esperienza, perciò è l’unica esclusa. L’opzione A attira chi legge la “o” come esclusiva e pensa che chi ha entrambi i requisiti sia escluso. La risposta corretta è la D.

Esercizio 2

In un reparto vale la regola “O Elena o Franco, ma non entrambi, fanno il turno di notte”. Questa settimana Franco fa il turno di notte. Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera?

A) Elena fa il turno di notte
B) Elena non fa il turno di notte
C) Se Elena non fa il turno di notte, Franco non lo fa
D) Elena fa il turno di notte se e solo se lo fa Franco
E) Non si può stabilire se Elena fa il turno di notte

$E$	$F$	o $E$ o $F$ , ma non entrambi
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

La regola è una disgiunzione esclusiva, vera quando esattamente uno dei due fa il turno di notte. Poiché Franco fa il turno, l’unica riga della tavola compatibile con la regola è quella con $E$ falsa e $F$ vera, quindi Elena non fa il turno. L’opzione E sarebbe corretta con la “o” inclusiva, che ammette anche il caso in cui lavorano entrambi; il testo però esclude questo caso con “ma non entrambi”. L’opzione C ha l’antecedente vero e il conseguente falso, perciò è falsa. La risposta corretta è la B.

Esercizio 3

Quale delle seguenti frasi è equivalente a “Gianni lavora o il sabato o la domenica, ma non in entrambi i giorni”?

A) Gianni lavora il sabato o la domenica
B) Gianni lavora il sabato se e solo se lavora la domenica
C) Gianni lavora il sabato se e solo se non lavora la domenica
D) Se Gianni lavora il sabato, allora non lavora la domenica
E) Gianni non lavora né il sabato né la domenica

$S$	$D$	o $S$ o $D$	$S \Leftrightarrow \lnot D$	$S \Rightarrow \lnot D$
V	V	F	F	F
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V
F	F	F	F	V

Si pone $S$ = “Gianni lavora il sabato” e $D$ = “Gianni lavora la domenica”. La disgiunzione esclusiva è vera quando $S$ e $D$ hanno valori diversi, cioè quando $S$ ha lo stesso valore di $\lnot D$ . Perciò equivale alla doppia implicazione $S \Leftrightarrow \lnot D$ , come mostrano le due colonne uguali della tavola. L’opzione D differisce nell’ultima riga, perché è vera anche quando Gianni non lavora in nessuno dei due giorni, caso escluso dalla frase data. L’opzione B è la negazione della frase data. La risposta corretta è la C.