Negazioni di congiunzioni e disgiunzioni

Si pone $M$ = “Marta è in ufficio” e $L$ = “Luca è in trasferta”, quindi la frase è la congiunzione $M\wedge L$. Per le leggi di De Morgan la negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle due negazioni, cioè “Marta non è in ufficio oppure Luca non è in trasferta”. Nella tavola le colonne di $M\wedge L$ e di $\neg M\vee \neg L$ hanno valori opposti in ogni riga. L’opzione A nega le due parti e lascia la “e”, perciò è falsa anche quando Marta è in ufficio e Luca no, un caso in cui la frase di partenza è falsa. La risposta corretta è la B.

Con $F$ = “Stefano conosce il francese” e $S$ = “Stefano conosce lo spagnolo” la frase è la disgiunzione inclusiva $F\vee S$, che è falsa soltanto quando Stefano non conosce nessuna delle due lingue. Per le leggi di De Morgan la negazione è quindi $\neg F\wedge \neg S$, cioè “Stefano non conosce né il francese né lo spagnolo”. L’opzione B nega le due parti e lascia la “o”, e risulta vera anche quando Stefano conosce il francese e non lo spagnolo, un caso in cui la frase di partenza è vera. L’opzione C è la “o” esclusiva, che ha un significato diverso. La risposta corretta è la D.

Si pone $A$ = “Il magazzino è aperto” e $R$ = “Il responsabile è presente”. La parola “ma” ha lo stesso valore di “e”, quindi la frase è $A\wedge \neg R$. Per le leggi di De Morgan la negazione è $\neg A\vee \neg \neg R$, e poiché la doppia negazione riporta alla frase di partenza si ottiene $\neg A\vee R$, cioè “Il magazzino non è aperto oppure il responsabile è presente”. Le opzioni C e D descrivono ciascuna un solo caso in cui la frase di partenza è falsa, mentre la negazione deve comprenderli tutti. L’opzione E equivale a “il responsabile non è presente oppure il magazzino non è aperto”, che è vera anche quando la frase di partenza è vera. La risposta corretta è la A.