Contronominale e conseguenze di un'implicazione

Theory used: Implicazione contronominale Due letture della stessa implicazione «Necessariamente vera», «può essere vera», «non può essere vera»

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Esercizio 1

Se è vera l’affermazione «Se un dipendente lavora nel turno di notte, riceve l’indennità», quale delle seguenti è necessariamente vera?

A) Se un dipendente non riceve l’indennità, non lavora nel turno di notte.
B) Se un dipendente riceve l’indennità, lavora nel turno di notte.
C) Se un dipendente non lavora nel turno di notte, non riceve l’indennità.
D) Qualche dipendente lavora nel turno di notte e non riceve l’indennità.
E) Ogni dipendente lavora nel turno di notte.

N = \text{lavora nel turno di notte}, \qquad R = \text{riceve l'indennità}

frase	forma	equivale a $N \Rightarrow R$ ?
$N \Rightarrow R$	implicazione data	sì
non $R \Rightarrow$ non $N$	contronominale	sì
$R \Rightarrow N$	inversa	no
non $N \Rightarrow$ non $R$	contraria	no

L’opzione A è la contronominale dell’affermazione data, quindi è vera ogni volta che l’affermazione è vera. Un dipendente del turno di notte riceve l’indennità, perciò un dipendente senza indennità non può lavorare di notte. Le opzioni B e C sono l’inversa e la contraria, e l’affermazione data non dice nulla su chi riceve l’indennità per altri motivi, come il lavoro festivo. L’opzione D descrive proprio il caso escluso dall’affermazione, e l’opzione E riguarda tutti i dipendenti, mentre la regola parla solo di quelli del turno di notte. La risposta corretta è la A.

Esercizio 2

Se è vera l’affermazione «Se non piove, Sara va al lavoro in bicicletta», quale delle seguenti è necessariamente vera?

A) Se Sara va al lavoro in bicicletta, non piove.
B) Se piove, Sara non va al lavoro in bicicletta.
C) Se Sara non va al lavoro in bicicletta, non piove.
D) Se Sara non va al lavoro in bicicletta, piove.
E) Sara va al lavoro in bicicletta se e solo se non piove.

frase	forma
non $P \Rightarrow B$	implicazione data
non $B \Rightarrow P$	contronominale
$B \Rightarrow$ non $P$	inversa
$P \Rightarrow$ non $B$	contraria

Si indica con $P$ l’affermazione “piove” e con $B$ l’affermazione “Sara va in bicicletta”; l’affermazione data è allora “se non $P$ , allora $B$ ”. Per costruire la contronominale si scambiano antecedente e conseguente e si negano entrambi. La negazione di “non piove” è “piove”, quindi la contronominale è “se Sara non va in bicicletta, allora piove”, cioè l’opzione D. L’opzione C nasce dall’errore di chi non nega “non piove”. Le opzioni A e B sono l’inversa e la contraria, e non seguono dall’affermazione data, perché Sara può andare in bicicletta anche sotto la pioggia. L’opzione E contiene l’inversa. La risposta corretta è la D.

Esercizio 3

In un reparto vale la regola: «Se Marco fa il turno della domenica, il lunedì non lavora». Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera?

A) Se Marco non fa il turno della domenica, il lunedì lavora.
B) Se Marco lavora il lunedì, non ha fatto il turno della domenica.
C) Se Marco non lavora il lunedì, ha fatto il turno della domenica.
D) Se Marco non fa il turno della domenica, il lunedì non lavora.
E) Se Marco lavora il lunedì, ha fatto il turno della domenica.

domenica	lunedì	la regola è
turno	non lavora	rispettata
turno	lavora	violata
niente turno	non lavora	rispettata
niente turno	lavora	rispettata

Nella tabella la regola è violata in una sola riga, quella in cui Marco fa il turno della domenica e lavora il lunedì. Perciò, se Marco lavora il lunedì, quella riga è esclusa e resta solo la possibilità “niente turno” la domenica. Questa è l’opzione B, che è la contronominale della regola, perché la negazione del conseguente “non lavora il lunedì” è “lavora il lunedì”. L’opzione E è smentita dalla quarta riga, in cui Marco lavora il lunedì senza aver fatto il turno della domenica. Le opzioni A, C e D sono smentite dalle righe in cui Marco non fa il turno, perché in quelle righe il lunedì può lavorare oppure no. La risposta corretta è la B.